ÖNSÖZ
Sonlu elemanlar yöntemi, mühendislik alanında karmaşık problemlerin çözümlenmesinde kullanılan en yaygın analiz yöntemidir. Elinizdeki bu kitapta, sonlu elemanlar yönteminin (SEY) yapı mühendisliği alanındaki uygulamalarına yönelik temel ilkeler açıklanmış, farklı yapısal elemanların analizinde SEY'nin nasıl kullanıldığı, örnek problemler ve çözüm yöntemleri ile detaylı bir şekilde ele alınmıştır.
Sonlu elemanlar yöntemi bilgisayar yazılımları kullanımı gerektirdiğinden kitaptaki örneklerin birçoğu günümüzde yaygın olarak kullanılan SAP2000, ANSYS gibi yazılımlar ile çözülmüştür. Ayrıca bilgisayar yazılımlarının sonlu elemanlar yöntemini nasıl uyguladığının anlaşılması için kitapta kullanılan sonlu elemanların formülasyonu, Python programlama dili ile geliştirilmiş özel kodlar şeklinde verilmiştir. Kitapta verilen Python program kodları anlaşılırlığı artırmak için optimize edilmeden olabildiğince açık olarak verilmiştir.
Yazar, İTÜ’de sonlu elemanlar yönteminin öğretilmesinde ve geliştirilmesinde büyük emek harcayan değerli akademisyenlerin rolünü takdirle anmaktan onur duymaktadır. İTÜ'de bu alandaki çalışmalar dünyadaki sonlu elemanlar yöntemi gelişimine paralel ilerlemiştir. Prof. Dr. Adnan Çakıroğlu, Prof. Dr. Nahit Kumbasar, Prof. Dr. Kemal Özden, Prof. Dr. Yalçın Aköz bu alanda öncü çalışmalarda bulunmuştur. Sonrasında Prof. Dr. Ahmet Işın Saygun, Prof. Dr. Metin Aydoğan, Prof. Dr. Mehmet Omurtag bu alandaki çalışmalara gerek yayınlarıyla gerekse verdikleri derslerle katkıda bulunmuştur. Alanlarında derin bilgi birikimine sahip bu değerli öğretim üyeleri, yalnızca teorik bilgiyi aktarmakla kalmayıp, aynı zamanda yenilikçi düşünce ve analitik çözümleme becerilerini kazandırarak mühendislik eğitimine katkılarda bulunmuşlardır. Onların özverili çalışmaları, sonlu elemanlar yönteminin ülkemizde ilerlemesinde önemli bir rol oynamıştır. İTÜ’deki bu misyon, günümüzde sonlu elemanlar yönteminin Prof. Dr. Tülay Aksu Özkul, Prof. Dr. Nihal Eratlı, Doç. Dr. Ülkü Hülya Çalık Karaköse, Doç. Dr. Murat Yılmaz tarafından lisans ve yüksek lisans dersleri olarak verilmesi şeklinde başarılı şekilde devam ettirilmektedir.
Kitap, yazım ve çizim işlerinin tamamı yazar tarafından yapılarak yoğun bir çalışma süreci sonucu oluşturulmuştur. Bunu göz önüne alarak okuyucuların olası eksiklikleri hoşgörü ile karşılayacağı ümit edilmektedir. Okuyucuların yazara iletecekleri her türlü eleştiri ve görüş, yazar tarafından memnuniyetle karşılanacak ve ileriki baskılar için önemli katkılar olarak değerlendirilecektir.
Yazar kitabın yazımı sürecinde görüşlerine başvurduğu Prof. Dr. Engin Orakdöğen, Prof. Dr. Konuralp Girgin, Doç. Dr. Cüneyt Vatansever, Dr. Yavuz Durgun ve Dr. Günhan Aksoylu’ya teşekkürlerini sunmaktadır. Yazar, kitabın konu ile ilgilenen öğrencilerin ve uygulamadaki mühendislerin bilgi birikimlerine katkı sağlayacak bir kaynak olmasını umut etmektedir.
Kutlu Darılmaz
İstanbul, 2025
İÇİNDEKİLER
1 Giriş ............................................................................................................................................................. 1
1.1 Giriş ........................................................................................................................................................... 1
1.2 Yöntemin Uygulanmasında İzlenen Adımlar .................................................................................................................. 2
1.3 Yöntemin Uygulanması İçin Gerekli Ön Bilgiler .............................................................................................................. 2
1.4 Sonlu Eleman Türleri ........................................................................................................................................................... 3
1.5 Eleman Karakteristik Matrisi .................................................................................................................................................. 5
1.5.1 Doğrudan Yöntem (Direkt Yöntem) ........................................................................................................................6
1.6 Alan Değişkenleri ................................................................................................................................................................ 14
1.7 İnterpolasyon fonksiyonları, Şekil Fonksiyonları ........................................................................................................ 14
1.8 Genel koordinatlar ve doğal koordinatlar ................................................................................................................ 18
2 Genel Kavramlar ............................................................................................................................................................... 21
2.1 Gerilmeler ve Denge ............................................................................................................................................................... 21
2.2 Sınır koşulları ............................................................................................................................................................ 23
2.3 Şekil Değiştirme Yer Değiştirme Bağıntıları............................................................................................................... 24
2.4 Gerilme Şekil değiştirme bağıntıları ........................................................................................................................... 26
2.4.1 Düzlem Gerilme Durumu.......................................................................................................................................... 28
2.4.2 Düzlem Şekil değiştirme Durumu .......................................................................................................................... 29
2.5 Toplam Potansiyel Enerji İlkesi ................................................................................................................................... 30
2.5.1 Potansiyel Enerji ........................................................................................................................................................... 30
2.6 RayleighRitz Yöntemi .............................................................................................................................. 35
3 Çubuk Elemanlar ........................................................................................................................................................... 38
3.1 Basit tek boyutlu çubuk eleman ....................................................................................................................................... 38
3.1.1 Doğrusal Eleman .......................................................................................................................................................... 38
3.1.2 Yük matrisi ...................................................................................................................................................................... 43
3.2 Düzlem Kafes Çubuk ....................................................................................................................................................... 54
3.3 Uzay Kafes Sistemler ....................................................................................................................................................... 77
3.4 Düzlem Kiriş Eleman ........................................................................................................................................................ 78
3.4.1 Yük Matrisi .............................................................................................................................................................. 83
3.5 Düzlem çubuk eleman .................................................................................................................................................... 88
3.6 Üç Boyutlu Uzay Çubuk Eleman ................................................................................................................................ 105
4 İki Boyutlu Elemanlar ............................................................................................................................................................... 132
4.1 Giriş ........................................................................................................................................................................ 132
4.2 Sabit Şekil değiştirme Üçgen Elemanı (CST Constant Strain Element) ..................................................... 132
4.2.1 İlgili Matrislerin Doğal Eksenlerde Elde Edilmesi ........................................................................................... 150
4.3 Dikdörtgen Düzlem Eleman (İki doğrultuda doğrusal dikdörtgen Q4) ...................................................... 163
4.4 İzoparametrik Formülasyon ile Genel ekilli Dörtgen Düzlem Eleman......................................................173
4.4.1 Hacim kuvveti .............................................................................................................................................................. 180
4.4.2 Yüzey kuvvetleri.......................................................................................................................................................... 180
4.5 Sayısal İntegral .................................................................................................................................................................. 181
4.5.1 Gauss kareleme yöntemi ........................................................................................................................................ 182
4.5.2 Sabit Şekil değiştirme Üçgen Elemanı ile Genel Şekilli Dörtgen Eleman Karşılaştırması ................ 202
5 Plak Eleman ................................................................................................................................................................. 204
5.1 Plak eleman .................................................................................................................................................................. 204
5.2 Kirchoff plak teorisi varsayımları .............................................................................................................................. 204
5.3 Gerilme Şekil değiştirme ilişkisi ................................................................................................................................. 206
5.4 Plağın Potansiyel Enerjisi ............................................................................................................................................. 208
5.5 Yük vektörü ................................................................................................................................................................. 217
6 Üç Boyutlu Elemanlar .............................................................................................................................................................. 239
6.1 Giriş ......................................................................................................................................................................... 239
6.2 Dört Noktalı Dört Yüzlü Eleman ................................................................................................................................ 239
6.3 Yük matrisi ................................................................................................................................................................. 244
6.4 İzoparametrik Formülasyon ...................................................................................................................................... 261
6.5 8 Noktalı Eleman ............................................................................................................................................................ 265
7 Eksenel Simetrik Eleman ....................................................................................................................................................... 292
7.1 Eksenel Simetrik Üçgen Eleman..................................................................................................................................... 292
8 Yüksek Dereceden Elemanlar .............................................................................................................................................. 304
8.1 Giriş ........................................................................................................................................................................ 304
8.2 İkinci Dereceden Tek Boyutlu Çubuk Eleman ................................................................................................... 304
8.3 Altı düğüm noktalı üçgen eleman ............................................................................................................................. 307
8.4 Sekiz Düğüm Noktalı Dörtgen Eleman ................................................................................................................... 308
8.5 20 Düğüm Noktalı Eleman ........................................................................................................................................... 310
9 Matris İşlemleri ve Lineer Cebir ........................................................................................................................................... 312
9.1 Giriş ........................................................................................................................................................................ 312
9.2 Matrisler ........................................................................................................................................................................ 312
9.3 Vektörler ......................................................................................................................................................................... 312
9.4 Özel Matrisler .................................................................................................................................................................... 313
9.4.1 Kare matris ................................................................................................................................................................... 313
9.4.2 Köşegen Matris ............................................................................................................................................................ 313
9.4.3 Birim Matris .................................................................................................................................................................. 313
9.4.4 Simetrik Matris ............................................................................................................................................................ 313
9.4.5 Antimetrik Matris........................................................................................................................................................ 314
9.4.6 Üst Üçgen Matris ......................................................................................................................................................... 314
9.4.7 Alt Üçgen Matris .......................................................................................................................................................... 314
9.4.8 Bant Matris ................................................................................................................................................................... 314
9.5 Matris İşlemleri ................................................................................................................................................................ 315
9.5.1 Toplama ve Çıkarma İşlemi: ................................................................................................................................. 315
9.5.2 Matrisin bir sayı ile çarpılması ............................................................................................................................... 316
9.5.3 Matris Çarpımı ..............................................................................................................................................................317
9.5.4 Matrisin Devriği (Tranpozesi) ................................................................................................................................ 318
9.5.5 Matris Tersi ................................................................................................................................................................... 319
9.5.6 İntegrasyon ve Türev ............................................................................................................................................... 322
9.6 Sonlu elemanlar yönteminde matris kullanımı .................................................................................................... 323
9.7 Matris ve determinantların özellikleri ...................................................................................................................... 323
9.7.1 Determinantın özellikleri ........................................................................................................................................ 324
9.8 Gauss İndirgeme Yöntemi .......................................................................................................................................... 325
9.9 LU Yöntemi ........................................................................................................................................................................ 332
10 Veri Dosyası Aktarımı ........................................................................................................................................................... 336
10.1 Giriş ......................................................................................................................................................................... 336
10.2 SAP2000 Programına aktarım .................................................................................................................................. 336
10.3 ANSYS programına aktarım......................................................................................................................................... 337
