Kısa Teori ve Çözümlü Problemlerle Matematik Analiz – IISalih Çelik Bu çözümlü problem kitabı, üniversitelerimizin [Mühendislik ve Fen Bölümlerinin] birinci/ ikinci sınıflarında okutulan, Matematik II-Matematik Analiz III-IV derslerinin konu başlıkları dikkate alınarak, kendi kendine yetecek şekilde hazırlanmaya gayret edilmiştir. Ancak, kitabın daha faydalı olabilmesi için, elemanter kalkülüsün önceden okunmuş/biliniyor olması gerekiyor. Okuyucuların, elemanter fonksiyonların bazı temel özelliklerine, türev ve integrasyon tekniklerine aşina oldukları kabul edilmiştir. Onların örneklerde kullanımı esnasında, bir takım açıklamalar yapılmıştır ama yine de bu kabule güvenilmiştir. Problemlerin çözümleri yapılırken çok titiz davranılmaya gayret edilmiştir. Buna rağmen, şüphesiz gözden kaçan bazı hususlar olabileceği gibi, muhtemel bazı teknik ve yazım hatalarına da rastlanabilir. Bu kitap hazırlanırken, problemlerin çok büyük bir kısmı, yazarın Matematik Analiz II kitabının sorularından alınmış ve sorunun sonuna, hangi başlıktan alındığı da yazılmıştır. Amaç, adı geçen kitaptaki bazı problemleri çözemeyen veya çözmekte zorlanan okuyuculara faydalı olmaktır. Problemlerin bir kısmı, arka sayfada sıralanan kitaplarda da bulunmaktadır.
İÇİNDEKiLER
1 PARAMETRİK DENKLEMLEk 1
1.1 PARAMETRİK OLARAK VERİLMİŞ EĞRİLER 9
1.1.1 Parametrik Bir Eğriyi Çizmek 9
1.1.2 Parametrize Bir Eğriyi Dik Koordinatlarda Yazmak 10
1.1.3 Bir Eğriyi Parametrize Etmek 11
1.1.4 Parametrik Eğrileri Kesiştirmek 13
1.2 PARAMETRİK EĞRİLERLE HESAP 14
1.2.1 Türev 14
1.2.2 Parametrik Eğrilere Teğetler 15
1.2.3 Parametrelenmiş Bir Eğri Altındaki Alan 17
1.2.4 Hacim 18
1.2.5 Bir Eğrinin Bir Yayının Uzunluğu 20
1.2.6 Bir Dönel Yüzeyin Alanı 21
2 KUTUPSAL KOORDİNATLAR 23
2.1 KOORDİNATLAR ARASINDAKİ BAĞINTILAR 31
2.1.1 Kutupsal Koordinatları Dik Koordinatlara Dönüştürmek 31
2.1.2 Dik Koordinatları Kutupsal Koordinatlara Dönüştürmek 32
2.1.3 Kutupsal Bir Denklemi Dik Koordinatlarda ifade Etmek 33
2.1.4 Kartezyen Bir Denklemi Kutupsal Koordinatlarda ifade Etmek 33
2.2 KUTUPSAL KOORDİNATLARDA EĞRİ ÇİZİMİ 34
2.3 KUTUPSAL KOORDİNATLARDA HESAP 38
2.3.1 Kutupsal Türev 38
2.3.2 Kutupsal Koordinatlarda Alan 41
2.3.3 Yay Uzunluğu 44
2.3.4 Dönel Bir Yüzeyin Alanı 45
3 REEL SAYI DİZİLERİ 47
3.1 SONSUZ DİZİLER 56
3.1.1 Bir Dizinin Genel Terimini Bulmak 56
3.1.2 Bir Dizinin Sımrlılığını Araştırmak 57
3.1.3 Bir Dizinin Limitini Göstermek 60
3.1.4 Bazı Önemli Limitler 62
3.2 LİMİT HESABI 65
3.3 MONOTON DİZİLER 74
4 SERILER 83
4.1 SERİLERİN YAKINSAMASI VE IRAKSAMASI 101
4.1.1 Iraksamayı Göstermek 101
4.1.2 Kısmi Toplamlar Dizisi 102
4.1.3 Geometrik Seriler 105
4.2 YAKINSAKLIK TESTLERI 108
4.2.1 İntegral Testi 109
4.2.2 Mukayese Testleri 113
4.2.3 Kök Testi 117
4.2.4 Bölüm Testi 119
4.3 HERHANGİ İŞARETLİ SERILER 124
4.4 KUVVET SERİLERİ 127
4.5 HERHANGİ BİR SERİNİN YAKINSAKLIK ARALIĞI 129
4.6 KUVVET SERILERİ VE FONKSİYONLAR 131
4.7 FONKSİYONLARIN SERİ AÇILIMI 136
4.8 KUVVET SERİLERİNİN BAZI UYGULAMALARI 142
5 VEKTÖRLER 155
5.1 VEKTORLER 173
5.1.1 Bir Vektörü Çizmek 173
5.1.2 Vektör Cebiri 174
5.2 NOKTA ÇARPIMI VE UYGULAMALARI 176
5.3 VEKTÖREL ÇARPIM VE UYGULAMALARI 181
5.4 UZAYDA DOĞRULAR 185
5.5 DÜZLEMLER 189
6 VEKTÖREL FONKSİYONLAR 201
6.1 VEKTÖR DEGERLİ FONKSİYONLAR 211
6.1.1 Limit Hesabı 211
6.1.2 Süreklilik 212
6.1.3 Türev 213
6.1.4 İntegral 214
6.2 EĞRİLER VE PARAMETRİZASYON 215
6.2.1 Parametrizasyon 215
6.2.2 Düzgün ve Basit Kapalı Eğriler 216
6.2.3 Teğet Vektör 216
6.3 HIZ VE IVME 218
6.4 YAY UZUNLUĞU 220
6.5 BİRİM TEĞET VEKTÖR 222
6.6 BİR EĞRİNİN EGRİLİĞİ 223
7 İKİ VE ÜÇ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR İÇİN DİFERANSİYEL HESAP 231
7.1 İKİ ve UÇ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR 252
7.1.1 Fonksiyonları Oluşturmak 252
7.1.2 Bir Fonksiyonun Tanım Kümesini Bulmak 252
7.1.3 Seviye Eğrileri ve Seviye Yüzeyleri 254
7.2 İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA LİMİT 255
7.2.1 Limitin Tanımını Kullanmak 255
7.2.2 Sıkıştırma Kuralım Kullanmak 256
7.2.3 Limit Hesabı 258
7.2.4 Kutupsal Koordinatlara Dönüştürme 262
7.2.5 Bir Noktada Limitin Mevcut Olmaması 264
7.2.6 Sonsuz Limitler 268
7.2.7 Sonsuzda Alınan Limitler 269
7.3 İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA SÜREKLILIK 271
7.3.1 Bir Noktadaki Sürekliliği Araştırmak 271
7.3.2 Kaldırılabilir Süreksizlik 272
7.4 KISMİ TÜREVLER 274
7.4.1 Birinci Mertebe Kısmi Türevler 274
7.4.2 İkinci Mertebe Kısmi Türevler 281
7.5 LİNEERİZASYON VE DİFERANSİYELLENEBİLME 284
7.5.1 Bir Fonksiyonu Lineerleştirmek 284
7.5.2 Bir Sayının Yaklaşık Değerini Bulmak 284
7.5.3 Süreklilik ve Kısmi Türevlenebilme 286
7.5.4 Diferansiyellenebilme 288
7.6 ZINCIR KURALI VE UYGULAMALARI 289
7.6.1 Tek Değişkenli Durum 289
7.6.2 İki Değişkenli Durum 292
7.6.3 Değişken Değiştirme 293
7.7 YÖNLÜ TüREV 296
7.8 MAKSİMUM-MİNİMUM DEĞERLER 303
7.8.1 Yerel Ekstremum Değerler 303
7.8.2 Mutlak Ekstremum Değerler 306
7.8.3 Şarta Bağlı Ekstremumlar 311
7.8.4 Lagrange Çarpanı 313
7.9 KAPALI FONKSİYONLAR 318
7.9.1 Tek Bağımsız Değişkenli Durum 318
7.9.2 İki Bağımsız Değişkenli Durum 319
7.9.3 Denklem Sistemleri 321
7.9.4 Fonksiyonel Bağımlılık 323
7.9.5 Ters Dönüşümler 324
8 İKİ VE ÜÇ DEĞiŞKENLi FONKSİYONLAR IÇIN iNTEGRAL HESAP 325
8.1 İKİ KATLI İNTEGRALLER 353
8.1.1 Alt ve Üst Toplamların Kullanımı 353
8.1.2 Tekrarlama Yoluyla 357
8.1.3 Genel Bölgeler Üzerinde İki Katlı İntegral 364
8.1.4 İki Katlı İntegral İle Alan Hesabı 374
8.1.5 İki Katlı İntegrallerle Hacim Hesabı 380
8.1.6 Kutupsal Koordinatların Kullanımı 385
8.1.7 Kutupsal Koordinatlarda Alan 390
8.1.8 Kutupsal Koordinatlar İle Hacim Hesabı 391
8.1.9 İmproper İntegraller 393
8.1.10 Değişken Değiştirme 396
8.2 ÜÇ KATLI İNTEGRALLER 399
8.2.1 Üç Katlı İntegrallerin Hesabı 399
8.2.2 Silindirik Koordinatlar 405
8.2.3 Küresel Koordinatlar 409
9 VEKTÖREL ANALİZ 425
9.1 VEKTÖR ALANLAR' 448
9.1.1 R' de Limit 449
9.1.2 Rn de Süreklilik 450
9.1.3 R' de Türev 451
9.1.4 Gradyen Alanlar 453
9.2 EGRİSEL İNTEGRALLER 457
9.2.1 Koordinatlara Göre: Düzlemde 457
9.2.2 Koordinatlara Göre: Uzayda 463
9.2.3 Yay Uzunluğuna Göre Eğrisel İntegraller 466
9.2.4 Vektörel Formülasyon 468
9.2.5 Yoldan Bağımsızlık 472
9.2.6 Eğrisel İntegraller İçin Temel Teorem 472
9.3 DÜZLEMDE GREEN TEOREMİ 477
9.4 YÜZEY İNTEGRALLERİ 485
9.4.1 Parametrelenmiş Yüzeyler 485
9.4.2 Parametrelenmiş Bir Yüzeyin Alanı 486
9.4.3 Bir z = f (x, y) Yüzeyin Alanı 487
9.4.4 Yüzey İntegralleri 490
9.4.5 Bir Vektör Alanının Akısı 497
9.5 DIVERJANS TEOREMİ 503
9.6 STOKES TEOREMİ 510
A EKLER 515
A.1 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER 515
A.2 TÜREVLER İÇİN TABLO 516
A.3 İNTEGRALLER İÇİN TABLO 517
İndex
